Этот раздел будет интересен только тем, кто любит элементарную математику и любит решать математические задачи. В частности этот раздел будет полезен старшеклассникам и школьным учителям математики. Я буду размещать здесь понравившиеся мне задачи (иногда это будут мои задачи: пометка - ФШ) и мои решения к этим задачам. А также буду выкладывать небольшие статьи по элементарной математике, в разное время написанные мною. Для понимания всего материала достаточно хорошего знания школьного курса математики. Итак, начнём, пожалуй.

Задача 1(ФШ, "КВАНТ", 2001, задача 1784). На доске записаны все целые числа от 1 до 2000.
   а) Наугад стирают 998 чисел. Доказать, что среди оставшихся чисел можно указать несколько (не менее двух) так, что их сумма тоже имеется на доске.
   б) Наугад стирают 98 чисел. Доказать, что среди оставшихся можно указать 20 чисел так, что их сумма тоже имеется на доске.
Останутся ли справедливы утверждения, если стереть еще одно число? Решение.

Задача 2(Рязанская областная математическая олимпиада, 1965).
Выбрали 20 разных натуральных чисел в промежутке от 1 до 70: 1≤a₁<a₂<... <a₂₀≤70. Доказать, что среди разностей a_p–a_q (1≤q<p≤20) найдутся четыре одинаковые. Решение.

Задача 3("КВАНТ", 1971, задача 115). Имеются три сосуда неограниченной ёмкости частично заполненные водой целочисленного объёма. За один ход разрешается перелить из одного сосуда во второй столько воды, сколько во втором имелось до переливания. Доказать, что путём нескольких переливаний можно опорожнить один сосуд. Решение.

Вернуться   на главную страницу

Задача 4(ФШ, О покрытии квадрата). Из бумаги вырезали квадрат S площади 1 и ещё несколько квадратиков общей площадью 4. Доказать, что S можно покрыть данными квадратиками. Решение.

Задача 5. а) (ФШ) Пусть p – простое число и a₁,a₂,...,a_2p-1 – последовательность произвольных целых чисел, причём среди их остатков от деления на p ни один не встретится p раз. Тогда для каждого числа t = 0,1,2,...,(p–1) можно указать p членов данной последовательности так, что их сумма даёт именно остаток t при делении на p.
   b) (Всесоюзная олимпиада, 1971) Пусть n – натуральное число и a₁,a₂,...,a_2n-1 – произвольные целые числа. Доказать, что можно выбрать n чисел из данных так, что их сумма делится на n. Решение.

Задача 6. Любое положительное рациональное число можно записать в виде дроби: , где a,b,c,d - натуральные числа. Решение.

Задача 7(Московская олимпиада, 1999). Докажите, что первые цифры чисел вида образуют непериодическую последовательность. Решение.

Задача 8(Теорема о сельских свадьбах). Имеются две группы: (A) юношей и (B) девушек. Для каждой подгруппы A_i юношей можно указать подгруппу B_i девушек, в которых эти юноши влюблены. Оказывается, чтобы можно было женить всех юношей на любимых девушках необходимо и достаточно выполнение неравенства |A_i|≤|B_i| для каждой подгруппы юношей A_i (через |A_i| обозначено количество юношей в данной подгруппе). Решение.

Вернуться   на главную страницу

Задача 9(Из списка задач, предлагавшихся абитуриентам с плохими паспортными данными при поступлении на мех–мат МГУ). Прямоугольная таблица заполнена непересекающимися прямоугольниками, стороны которых параллельны краям таблицы. Кроме того, у каждого прямоугольника есть сторона, длина которой – целое число. Доказать, что одна из сторон таблицы также имеет целочисленную длину. Решение.

Задача 10. Доказать неравенство n²⁰⁰⁰ < 2ⁿ, где n – натуральное число, n ≥ 30000. Решение.

Задача 11(ФШ, "КВАНТ", 1977, задача 443). Имеется таблица n×n клеток, в каждой клетке которой вначале стоит 0. Разрешается произвольно выбрать n чисел, стоящих в разных строках и разных столбцах, и увеличить каждое из них на 1.
   а) Можно ли за несколько шагов получить таблицы, изображённые на рисунках 1 и 2?

   b) Можно ли получить таблицу с попарно различными числами?
   c) Какие вообще таблицы можно получить через Т шагов? Решение.

Задача 12. Точными квадратами будем называть числа равные квадратам целых чисел.
   а) Известно, что при всех целых значениях х значения квадратного трёхчлена ax²+bx+c – точные квадраты. Доказать, что существуют такие целые числа d и e, что ax²+bx+c≡(dx+e)².
   b) Многочлен f(x) при всех целых значениях x принимает значения равные точным квадратам. Доказать, что существует многочлен g(x) с рациональными коэффициентами и такой, что f(x)≡g(x)². Решение.